以下是配方法的经典例题及解析，涵盖一元二次方程的解法及应用：
一、基础配方例题
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解方程 $3x^2 + 4x + 1 = 0$
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首先将二次项系数化为1：$x^2 + \frac{4}{3}x = -\frac{1}{3}$
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配方：$x^2 + \frac{4}{3}x + \left（\frac{2}{3}\right）^2 = -\frac{1}{3} + \frac{4}{9}$
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得：$\left（x + \frac{2}{3}\right）^2 = \frac{1}{9}$
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开平方：$x + \frac{2}{3} = \pm \frac{1}{3}$
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解得：$x_1 = -1, x_2 = -\frac{1}{3}$
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解方程 $2x^2 - 4x - 6 = 0$
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化为标准形式：$x^2 - 2x = 3$
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配方：$x^2 - 2x + 1 = 3 + 1$
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得：$（x - 1）^2 = 4$
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开平方：$x - 1 = \pm 2$
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解得：$x_1 = 3, x_2 = -1$
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二、综合应用例题
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解方程 $x^2 + 8x - 9 = 0$
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移项：$x^2 + 8x = 9$
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配方：$x^2 + 8x + 16 = 9 + 16$
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得：$（x + 4）^2 = 25$
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开平方：$x + 4 = \pm 5$
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解得：$x_1 = 1, x_2 = -9$
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解方程 $4x^2 - 6x - 3 = 0$
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化为标准形式：$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{3}{4}$
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配方：$x^2 - \frac{3}{2}x + \left（\frac{3}{4}\right）^2 = \frac{3}{4} + \frac{9}{16}$
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得：$\left（x - \frac{3}{4}\right）^2 = \frac{21}{16}$
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开平方：$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{21}}{4}$
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解得：$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{4}$
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三、配方变形与拓展
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将 $x^2 + 6x + 5$ 配方为完全平方式
- $x^2 + 6x + 5 = （x^2 + 6x + 9） - 4 = （x + 3）^2 - 4$
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解方程 $x^2 - 10x + 20 = 0$
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移项：$x^2 - 10x = -20$
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配方：$x^2 - 10x + 25 = -20 + 25$
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得：$（x - 5）^2 = 5$
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开平方：$x - 5 = \pm \sqrt{5}$
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解得：$x = 5 \pm \sqrt{5}$
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四、配方在二次函数中的应用
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求函数 $y = x^2 + 4x + 3$ 的最小值
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配方：$y = （x + 2）^2 - 1$
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最小值为 $-1$，当 $x = -2$ 时取得
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以上例题综合了配方法的基本步骤与实际应用，通过变形与开平方求解方程，或用于函数最值的分析。建议结合具体题型选择合适方法，并注意配方时的恒等变形原则。
