医疗美容机构退费问题主要由市场监管部门和卫生部门负责处理。消费者遇到退费纠纷时，可先与机构协商，协商不成可向相关部门投诉或申请仲裁。

分点展开

1. 市场监管部门职责
   市场监管部门负责监管医疗美容机构的经营行为，包括合同履行、虚假宣传、价格欺诈等问题。消费者因合同纠纷或机构违规行为导致退费问题时，可向当地市场监管部门投诉。

2. 卫生部门职责
   卫生部门主要监管医疗美容服务的质量和安全性，如机构资质、医师资格、医疗行为等。如果机构未取得相关资质或存在医疗过错，消费者可向卫生部门举报，并申请退费。

3. 协商解决
   消费者与机构协商时，应提供相关合同、付款凭证、沟通记录等材料，明确退费原因。机构应在合理期限内处理退费申请。

4. 法律途径
   若协商无果，消费者可依据《中华人民共和国消费者权益保护法》和《医疗美容服务管理办法》等法规，向仲裁机构申请仲裁或向法院提起诉讼。

5. 政策支持
   《医疗美容消费服务合同（示范文本）》明确规定了消费冷静期，消费者在冷静期内可无条件解除合同并要求全额退款。合同中还对机构资质、服务流程等进行了详细规定，为消费者维权提供依据。

总结或提示

消费者在遇到医疗美容退费问题时，应优先选择与机构协商解决，必要时向市场监管或卫生部门投诉。签订规范的合同并保留相关证据，以便在法律途径中维护自身权益。