增量式PID控制算法是一种改进的PID控制方法，通过减少计算量并避免积分饱和问题，适用于对计算资源有限或干扰较大的系统。以下是其核心公式及推导过程的详细解析：
一、基本公式
增量式PID控制算法的核心公式为： $$ \Delta u(k) = K_p \left[ e(k) - e(k-1) \right] + K_i e(k) + K_d \left[ e(k) - 2e(k-1) + e(k-2) \right] $$
其中：
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$\Delta u（k）$：第k次采样时需要调整的控制量增量
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$e（k）$：当前采样时刻的误差（设定值与实际值的差）
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$e（k-1）$、$e（k-2）$：上一次和上上一次采样时刻的误差
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$K_p$、$K_i$、$K_d$：比例、积分、微分系数
二、公式推导过程
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比例项
采用当前误差与上一次误差的差值，避免了对初始误差的依赖，减少计算量： $$ K_p \left[ e(k) - e(k-1) \right] $$
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积分项
通过引入积分项消除稳态误差，但为避免积分饱和，采用积分分离技巧：
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当误差较大时，暂时关闭积分作用（$K_i = 0$）
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当误差较小时，正常积分： $$ K_i e(k) $$
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微分项
使用当前误差与上一次误差的差值的差值，提高对系统变化的响应速度： $$ K_d \left[ e(k) - 2e(k-1) + e(k-2) \right] $$
三、关键特点
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计算量小
每次采样仅需3次历史误差计算，适合资源受限的嵌入式系统。
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避免积分饱和
通过积分分离技巧，防止积分项因长期累积导致输出超出控制范围。
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适用场景
主要用于执行机构为步进电机等需要快速响应且干扰较多的系统，如阀门控制、机械臂定位等。
四、实现要点
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参数调整 ：需根据系统动态特性调整$K_p$、$K_i$、$K_d$，通常采用试凑法或Ziegler-Nichols方法。
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死区处理 ：通过设置输出上限和下限（$Max_output$、$Min_output$）实现死区控制。
五、示例计算
假设采样周期$T$，历史偏差为$e（k）$、$e（k-1）$、$e（k-2）$，则第k次采样输出增量$\Delta u（k）$可计算为： $$ \Delta u(k) = A e(k) + B e(k-1) + C e(k-2) $$
其中$A$、$B$、$C$为常数，通过系统辨识或经验确定。
通过以上公式及推导，增量式PID算法在保证控制精度的显著提升了系统的实时性和鲁棒性。
