全增量与偏增量的关系需要根据函数类型进行具体分析，以下是详细说明：

一、定义与计算方法

1. 全增量

   函数 $f（x,y）$ 在点 $（x_0,y_0）$ 处对应 $（x_0+\Delta x, y_0+\Delta y）$ 的函数值变化量，计算公式为：
   $$\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)$$

   例如，对于函数 $f（x,y） = xy$，在原点 $（0,0）$ 处的全增量为： $$\Delta z = f(\Delta x, \Delta y) - f(0,0) = \Delta x \cdot \Delta y$$

   而偏增量分别为： $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \Delta x = 0 \cdot \Delta x = 0$$
   $$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) \Delta y = 0 \cdot \Delta y = 0$$

   全增量 $\Delta z = \Delta x \cdot \Delta y$ 不等于偏增量之和（0 + 0）。

2. 偏增量

   偏增量是固定其他变量时，单一变量变化引起的函数值变化量。例如： $$\Delta f_x = f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0) \approx f_x(x_0, y_0) \Delta x$$
   $$\Delta f_y = f(x_0, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) \approx f_y(x_0, y_0) \Delta y$$

   对于 $f（x,y） = xy$，偏导数均为0，故偏增量均为0。

二、线性函数的特殊性

线性函数（如 $f（x,y） = ax + by + c$）的全增量与偏增量满足： $$\Delta z = a \Delta x + b \Delta y = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y$$

即全增量等于偏增量之和。这是因为线性函数的全微分（即线性近似）与实际增量完全一致。

三、非线性函数的一般情况

对于非线性函数，全增量与偏增量通常不满足等式。例如：

• 二次函数 ：$f（x,y） = x^2 + y^2$，在原点的全增量为 $\Delta z = （\Delta x）^2 + （\Delta y）^2$，而偏增量均为0，显然不等于全增量。

• 其他非线性函数 ：如 $f（x,y） = \sin（x） \cos（y）$，其偏导数存在但不连续，全增量与偏增量关系复杂。

四、总结

• 线性函数 ：全增量等于偏增量之和，且可微性等价于可导性。

• 非线性函数 ：全增量与偏增量一般不相等，可微性需要通过全增量与偏增量之和的线性关系判断。

理解这一关系需结合函数的具体形式，可通过计算全微分与实际增量的差值来验证。