全增量与偏增量的关系需要根据函数类型具体分析，以下是详细说明：
一、全增量与偏增量的定义
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全增量 ：函数$z = f（x, y）$在点$（x_0, y_0）$到点$（x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y）$的增量，表示为 $$ \Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) $$
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偏增量 ：
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关于$x$的偏增量：$\Delta z_x = f（x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y） - f（x_0, y_0）$
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关于$y$的偏增量：$\Delta z_y = f（x_0, y_0 + \Delta y） - f（x_0, y_0）$
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二、全增量与偏增量的关系
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线性函数 的全增量等于偏增量之和
对于线性函数（如$z = ax + by + c$），其全增量可表示为 $$ \Delta z = a\Delta x + b\Delta y $$
而偏增量分别为$\Delta z_x = a$和$\Delta z_y = b$，显然满足 $$ \Delta z = \Delta z_x + \Delta z_y $$
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非线性函数 的全增量不等于偏增量之和
例如，函数$z = xy$在原点$（0,0）$处：
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全增量$\Delta z = f（0 + \Delta x, 0 + \Delta y） - f（0, 0） = \Delta x \cdot \Delta y$
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偏增量$\Delta z_x = f（0 + \Delta x, 0） - f（0, 0） = 0$，$\Delta z_y = f（0, 0 + \Delta y） - f（0, 0） = 0$
显然，$\Delta z \neq \Delta z_x + \Delta z_y$（除非$\Delta x$或$\Delta y$为0）
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三、补充说明
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全微分与偏导数的关系 ：对于可微函数，全增量$\Delta z$可以近似表示为 $$ \Delta z \approx f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y $$
其中$f_x$和$f_y$是偏导数。当函数在某点可微时，该近似在局部是精确的，但全微分是线性函数，其全增量始终等于偏增量之和。
全增量是否等于偏增量之和取决于函数是否为线性函数。线性函数满足该性质，而非线性函数则不满足。
