正定二次型和半正定二次型是线性代数中的重要概念，它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。
正定二次型
正定二次型是指对于任意非零向量 $X$，都有 $X^T A X > 0$ 的二次型，其中 $A$ 是对称矩阵。正定二次型的矩阵 $A$ 具有以下性质：
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所有特征值都大于零 ：正定矩阵的所有特征值都是正数。
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非负性 ：正定矩阵的所有主子式（即从1阶到n阶的所有主子式）都大于零。
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主特征值大于零 ：正定矩阵的主特征值（即最大的特征值）大于零。
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合同变换 ：正定矩阵可以通过合同变换对角化为单位矩阵。
正定二次型在解决实际问题中发挥着重要作用，例如在投入产出分析中，正定矩阵可以用于描述各个产业之间的相互关系。
半正定二次型
半正定二次型是指对于任意非零向量 $X$，都有 $X^T A X \geq 0$ 的二次型，其中 $A$ 是对称矩阵。半正定二次型的矩阵 $A$ 具有以下性质：
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所有特征值都非负 ：半正定矩阵的所有特征值都是非负数。
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存在非零特征值 ：半正定矩阵至少有一个特征值为零。
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主子式非负 ：半正定矩阵的所有主子式（即从1阶到n阶的所有主子式）都大于或等于零。
半正定二次型在许多实际应用中也有重要应用，例如在统计学和概率论中，半正定矩阵用于描述概率分布的性质。
区别与联系
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正定二次型 ：对于任意非零向量 $X$，都有 $X^T A X > 0$，矩阵 $A$ 的所有特征值都大于零。
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半正定二次型 ：对于任意非零向量 $X$，都有 $X^T A X \geq 0$，矩阵 $A$ 的所有特征值都非负，但至少有一个特征值为零。
正定二次型是半正定二次型的一种特殊情况，即所有特征值都严格大于零的半正定二次型。
判别方法
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特征值法 ：若矩阵 $A$ 的所有特征值都大于零，则二次型是正定的。
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主子式法 ：若矩阵 $A$ 的所有顺序主子式都大于零，则二次型是正定的。
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惯性定理 ：二次型的正惯性指数等于矩阵的秩，也即等于变量的个数，若正惯性指数等于变量的个数且秩等于变量的个数，则二次型是正定的。
通过这些方法，可以有效地判断一个二次型是否为正定或半正定。