根据相关法律法规和搜索结果，福建省单位在欠缴社保后，新单位是否可以继续缴纳社保费用，需根据具体情况判断，具体操作流程如下：

一、劳动关系转移情况下的社保缴纳

1. 劳动关系转出

   若劳动者与原单位终止或解除劳动关系后，与新单位建立劳动关系并办理用工备案手续，则新单位需为劳动者补缴原单位欠缴的社保费用。

2. 补缴流程

   需提供以下材料：

   • 新单位的劳动用工备案花名册

   • 原单位的企业社会保险费减少表

   • 终止或解除劳动合同证明书

   持上述材料至参保地社保经办机构办理欠缴补缴及人员减员手续，补缴完成后新单位即可正常缴纳社保。

二、劳动关系未转移的情况

若劳动者未与原单位解除劳动关系，新单位无法直接为原单位欠缴的社保费用买单，需等待原单位补缴或通过法律途径解决。

三、注意事项

1. 社保欠缴影响

   社保欠缴会导致工龄计算中断，可能影响养老金待遇。建议尽快补缴以减少损失。

2. 法律依据

   《中华人民共和国社会保险法》规定，用人单位变更或终止时需在30日内办理社保登记变更或注销手续。

3. 特殊情况处理

   • 若欠费金额较大，需先补缴欠费差额后，新单位才能正常参保。

   • 灵活就业人员可单独向社保部门申请参保，与单位无关。

建议劳动者优先与原单位协商补缴欠费，若协商失败可向劳动监察部门投诉或通过法律途径维权。新单位在用工时应及时核查员工社保缴纳情况，避免因欠缴引发劳动争议。