3岁儿童被家里养的猫咬伤手指后，是否需要打破伤风疫苗，取决于伤口的严重程度和猫的健康状况，但通常建议采取预防措施，包括清洁伤口和考虑破伤风疫苗接种。以下是详细的分析和建议：

1. 1.伤口评估与清洁：立即用清水和温和的肥皂彻底清洗伤口，以减少感染风险。冲洗至少5到10分钟，确保去除任何可能的污垢和细菌。观察伤口的深度和出血情况。如果伤口较深或出血不止，应立即就医。
2. 2.猫的健康状况：了解猫的疫苗接种情况非常重要。如果猫已经按时接种了狂犬病疫苗，感染狂犬病的风险较低。如果猫的健康状况不明或未接种疫苗，建议尽快咨询医生，可能需要采取额外的预防措施。
3. 3.破伤风疫苗的考虑：破伤风是由破伤风杆菌引起的严重疾病，可以通过伤口感染。儿童通常在婴儿期接种了破伤风疫苗，但根据最后一剂疫苗的时间，可能需要加强注射。如果儿童在过去的5年内没有接种过破伤风疫苗，或者不确定疫苗接种史，建议咨询医生是否需要补打破伤风疫苗。
4. 4.感染风险与抗生素：即使是家养的猫，咬伤也可能导致细菌感染。医生可能会开抗生素以预防感染。密切观察伤口是否有红肿、疼痛加剧或出现脓液等感染迹象。如果出现这些症状，应立即就医。
5. 5.心理安抚与后续护理：儿童在经历咬伤事件后可能会感到害怕或不安。提供心理安抚和安全感非常重要。后续护理中，保持伤口清洁干燥，遵循医生的建议进行换药和复查。

3岁儿童被猫咬伤后，虽然家养猫感染狂犬病的风险较低，但破伤风和其他细菌感染的风险依然存在。建议及时清洁伤口，评估猫的健康状况，并根据医生的建议考虑破伤风疫苗接种。密切关注伤口愈合情况，确保儿童的心理健康得到妥善照顾。