我国机关事业单位医疗保险的起始时间需根据改革历程进行区分说明：

一、制度建立阶段

1. 公费医疗制度

   1952年6月27日，中央人民政府政务院发布《关于全国各级人民政府、党派、团体及所属事业单位的国家工作人员实行公费医疗预防的指示》，标志着公费医疗制度的建立，但此制度仅覆盖国家机关和事业单位工作人员，个人无需缴费。

2. 城镇职工基本医疗保险制度

   1998年10月，国务院颁布《关于建立城镇职工基本医疗保险制度的决定》，全国范围内建立该制度，覆盖企业、机关、事业单位等所有用人单位及其职工，实行单位缴费与个人缴费相结合。此时，原有公费医疗制度逐步被城镇职工医保取代。

二、改革调整阶段

1. 2014年事业单位改革

   2014年10月，我国事业单位养老保险制度改革启动，实行与企业职工养老保险并轨，但医疗保险仍延续原有制度框架，未立即停止缴纳。

   部分资料提到2014年11月事业单位改革全面展开，但医疗保险并轨的完整实施需结合地区政策具体分析。

三、总结

• 医疗保险全面实施时间 ：1998年城镇职工医保制度建立后，机关事业单位医疗保险逐步覆盖所有职工。

• 特殊说明 ：2014年改革后，事业单位养老保险并轨，但医疗保险制度本身并未停止运行，而是与养老保险合并实施。

建议结合具体政策文件或当地医保部门说明，以确认具体执行时间。