全增量和全微分是高等数学中描述函数局部变化的重要概念，以下是相关公式的
一、全增量公式
对于二元函数 $z = f（x, y）$，在点 $（x_0, y_0）$ 处，当自变量 $x$ 和 $y$ 分别有增量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 时，函数的全增量 $\Delta z$ 定义为： $$ \Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) $$
全增量反映了函数在点 $（x_0, y_0）$ 附近因自变量变化引起的实际变化量。
二、全微分公式
若函数 $z = f（x, y）$ 在点 $（x_0, y_0）$ 处可微，则全微分 $dz$ 存在，其计算公式为： $$ dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \Delta y $$
其中，$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 分别是函数对 $x$ 和 $y$ 的偏导数。全微分表示函数增量的线性近似部分。
三、全微分的性质
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线性性 ：全微分是关于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 的线性函数。
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可微与可导的关系 ：函数在某点可微，则在该点可导；反之，可导不一定可微。
四、全增量与全微分的关系
全微分是全增量的线性主部，即当 $\rho = \sqrt{（\Delta x）^2 + （\Delta y）^2} \to 0$ 时，全增量与全微分的差是比 $\rho$ 高阶的无穷小： $$ \Delta z = dz + o(\rho) $$
其中 $o（\rho）$ 表示 $\rho \to 0$ 时比 $\rho$ 高阶的无穷小量。
五、示例计算
以函数 $z = 5x^2 + y^2$ 在点 $（1, 2）$ 为例：
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计算全增量： $$ \Delta z = f(1.05, 2.1) - f(1, 2) = 5(1.05)^2 + (2.1)^2 - (5 \cdot 1^2 + 2^2) = 0.9225 $$
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计算全微分： $$ \frac{\partial f}{\partial x} = 10x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y $$ $$ dz = \left. \left( 10x \cdot \Delta x + 2y \cdot \Delta y \right) \right|_{(1,2)} = 10 \cdot 0.05 + 4 \cdot 0.1 = 0.9 $$
