全微分和全增量的概念是微分学中的重要内容，以下是具体说明和计算方法：
一、全增量的定义
对于二元函数 $z = f（x, y）$，在点 $（x_0, y_0）$ 处的全增量 $\Delta z$ 定义为： $$ \Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) $$
即函数在 $（x_0, y_0）$ 到 $（x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y）$ 两点间的实际变化量。
二、全微分的定义
如果函数 $z = f（x, y）$ 在点 $（x, y）$ 处可微，则全增量 $\Delta z$ 可以表示为： $$ \Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho) $$
其中：
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$A$ 和 $B$ 不依赖于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$，仅与 $x$ 和 $y$ 有关，即 $A = \frac{\partial f}{\partial x}$，$B = \frac{\partial f}{\partial y}$；
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$\rho = \sqrt{（\Delta x）^2 + （\Delta y）^2}$，且 $\lim_{\rho \to 0} \frac{o（\rho）}{\rho} = 0$。
此时，全微分记作 $dz$，表达式为： $$ dz = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y $$
或简写为： $$ dz = f_x(x, y) dx + f_y(x, y) dy $$
其中 $dx = \Delta x$，$dy = \Delta y$。
三、全微分的几何意义
全微分表示函数在某点处因自变量变化引起的线性近似，即函数曲面在该点的切平面方程的线性部分。
四、计算步骤示例
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求偏导数 ：计算函数对 $x$ 和 $y$ 的偏导数： $$ f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} $$
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代入公式 ：将偏导数代入全微分公式： $$ dz = f_x(x, y) \Delta x + f_y(x, y) \Delta y $$
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应用实例 ：例如 $f（x, y） = x^2 + 3xy + y^2$，则： $$ f_x = 2x + 3y, \quad f_y = 3x + 2y $$
全微分为： $$ dz = (2x + 3y) \Delta x + (3x + 2y) \Delta y $$
五、注意事项
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全微分要求函数在该点可微，可微必连续且偏导数存在；
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若函数不可微，则全增量无法表示为线性形式。
通过以上步骤，可系统地求解全微分和全增量。
