全增量的计算通常指多变量函数中所有自变量同时变化时，函数值的实际改变量。以下是详细步骤和示例：

‌全增量的定义与计算方法‌

对于函数 $z = f(x, y)$，当自变量 $x$ 和 $y$ 分别有增量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 时，‌全增量‌ $\Delta z$ 定义为：

即新函数值与原函数值的差。

‌计算步骤‌

1. ‌确定函数和变量的增量‌
   明确函数表达式 $f(x, y)$，以及自变量的变化量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$。

2. ‌计算变化后的函数值‌
   将 $x + \Delta x$ 和 $y + \Delta y$ 代入函数，得到 $f(x + \Delta x, y + \Delta y)$。

3. ‌求全增量‌
   用变化后的函数值减去原函数值，即得全增量 $\Delta z$。

‌示例‌

假设函数 $z = f(x, y) = x^2 + 3xy$，当 $x$ 从 $2$ 变为 $2.1$（即 $\Delta x = 0.1$），$y$ 从 $1$ 变为 $0.9$（即 $\Delta y = -0.1$）时，计算全增量。

‌步骤：‌

1. 原函数值： $$f(2, 1) = 2^2 + 3 \times 2 \times 1 = 4 + 6 = 10$$
2. 新函数值： $$f(2.1, 0.9) = (2.1)^2 + 3 \times 2.1 \times 0.9 = 4.41 + 5.67 = 10.08$$
3. 全增量： $$\Delta z = 10.08 - 10 = 0.08$$

‌全增量与全微分的关系‌

全微分 $dz$ 是线性近似，忽略高阶无穷小：

其中 $f_x, f_y$ 为偏导数。对于上述示例：

实际全增量 $\Delta z = 0.08$，近似值 $dz = 0.1$，两者差异来自高阶小量。

‌注意事项‌

• 全增量是精确值，直接通过函数值计算。
• 全微分是线性近似，适用于微小变化（$\Delta x, \Delta y$ 很小时更准确）。

根据具体问题，选择直接计算全增量或使用微分近似。