关于正切函数的两角和公式，综合权威信息整理如下：

一、两角和的正切公式

$$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} $$

该公式用于计算两个角度和的正切值，通过正弦和余弦的和角公式推导得出。

二、公式推导过程

1. 从正弦和余弦公式出发
   $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta} $$

2. 分子分母同时除以 $\cos\alpha \cos\beta$
   $$ = \frac{\frac{\sin\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \cos\beta} + \frac{\cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}}{\frac{\cos\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \cos\beta} - \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}} = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} $$

   该步骤通过引入正切函数简化表达式。

三、注意事项

1. 公式适用条件

   当 $\cos（\alpha + \beta） \neq 0$ 时公式成立，即 $\alpha + \beta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。

2. 特殊角度验证

   例如，当 $\alpha = 30^\circ$，$\beta = 60^\circ$ 时，$\tan（30^\circ + 60^\circ） = \tan90^\circ$ 不存在，但公式右侧为 $\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{1 + 3}{\sqrt{3}}}{0}$，分母为零，验证了公式的局限性。

四、扩展应用

该公式可推广到多角和的情况，例如： $$ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} $$

通过反复应用两角和公式推导得出。

以上内容综合了三角函数的基本性质和公式推导，确保了准确性和系统性。