关于 $\cos\left（\frac{\theta}{2}\right）$ 的计算，以下是综合整理的信息：
一、半角公式
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主公式
$$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$$其中正负号由 $\frac{\theta}{2}$ 所在象限决定：
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第一、四象限取正号；
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第二、三象限取负号。
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推导过程
该公式可通过倍角公式 $\cos\theta = 2\cos^2\left（\frac{\theta}{2}\right） - 1$ 推导得出： $$\cos\theta + 1 = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$$
$$\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos\theta}{2}$$取平方根后需根据象限确定符号。
二、特殊角度计算
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已知 $\cos\left（\frac{\theta}{2}\right） = -0.5$
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$\frac{\theta}{2} = 120^\circ + 360^\circ k$ 或 $\frac{\theta}{2} = 240^\circ + 360^\circ k$（$k \in \mathbb{Z}$）
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对应 $\theta = 240^\circ + 720^\circ k$ 或 $\theta = 480^\circ + 720^\circ k$
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进一步化简得 $\theta = 240^\circ + 360^\circ n$（$n \in \mathbb{Z}$）。
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已知 $\cot\left（\frac{\theta}{2}\right） = 1.25$
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$\frac{\theta}{2} = 38.66^\circ + 180^\circ k$
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对应 $\theta = 77.32^\circ + 360^\circ k$
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另一个解为 $\frac{\theta}{2} = 218.66^\circ + 180^\circ k$，对应 $\theta = 437.32^\circ + 360^\circ k$。
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三、注意事项
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公式中的 $\cos\theta$ 需在 $[-1, 1]$ 范围内，超出范围需先进行角度标准化；
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计算结果可能涉及多解，需结合具体问题限定 $\theta$ 的取值范围。
若需进一步验证公式，可参考三角函数表或使用计算器。
