空间向量夹角余弦公式用于计算两个非零向量之间的夹角余弦值，其核心公式及推导如下：
一、公式表达式
对于空间向量 $\mathbf{a} = （x_1, y_1, z_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2, z_2）$，其夹角余弦值 $\cos\theta$ 计算公式为： $$ \cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} $$
二、公式解析
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向量点积（内积）
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
点积反映了两个向量在方向上的相似度。
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向量模长 $$ |\mathbf{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \ |\mathbf{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} $$
模长表示向量的长度。
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夹角计算
将点积与模长代入公式，得到：
$$ \cos\theta = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}} $$通过反余弦函数可求得夹角 $\theta = \arccos（\cos\theta）$。
三、应用说明
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范围 ：$\theta \in [0, \pi]$，即计算的是两向量之间的锐角或直角。
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方向性 ：当 $\cos\theta > 0$ 时，两向量夹角为锐角；当 $\cos\theta = 0$ 时，夹角为直角；当 $\cos\theta < 0$ 时，夹角为钝角。
四、补充说明
该公式适用于任意维度的向量空间，但需注意零向量的特殊情况（模长为0时，夹角未定义）。
