嘉峪关中核四〇四医院的联系电话是0937-6786900，这个号码可以用来联系医院获取相关信息，包括体检科的服务详情。不过，通常来说，如果您需要直接联系体检中心进行预约或者咨询具体事宜，最好是查找专门针对体检中心的联系电话。在提供的资料中，并没有直接给出体检中心的单独联系电话。因此，您可以首先拨打医院的总机电话0937-6786900，询问体检中心的具体联系方式或如何进行体检预约。

您也可以通过在线平台如康护网等进行预约，这些平台提供了详细的体检套餐信息、用户评价以及预约流程指导，能够帮助您更加便捷地完成体检预约过程而不必直接通过电话联系。如果选择这种方式，请确保按照网站上的指示操作，并留意工作时间（周一至周五，早上8:00点至10:00点）以便合理安排您的体检计划。

请注意，在拨打任何电话之前确认当前的信息是否准确无误，因为医疗机构的联系方式可能会有所更改。同时，考虑到可能存在的语音导航系统，请耐心听取选项以找到正确的部门进行咨询。如果您打算亲自前往医院进行体检，记得提前了解好地址：甘肃省嘉峪关市玉泉南路和体育大道交叉口向北100米处。

最后，根据以往用户的反馈，嘉峪关中核404医院体检中心的服务质量得到了较高的评价，这表明无论是通过电话还是在线方式预约体检服务，都能获得较好的体验和支持。希望这些信息能帮助您顺利完成体检预约。