13-15岁青少年被家里养的猫咬伤手指后，是否需要打破伤风疫苗，主要取决于伤口的深度、是否出血以及是否及时清洁伤口。如果伤口较深或出血，并且家中没有及时用肥皂水和清水彻底清洁伤口，那么建议尽快前往医院进行专业处理，并根据医生建议决定是否需要接种破伤风疫苗。

分点展开：

1. 伤口清洁的重要性
   被猫咬伤后，首先要用肥皂水和流动清水交替冲洗伤口至少15分钟，以清除可能残留的破伤风芽孢。这是预防感染的关键步骤。

2. 伤口深度的判断
   如果伤口较浅且未出血，可能不需要打破伤风疫苗。但如果伤口较深或出血明显，即使伤口较小，也可能存在感染风险，因此需要咨询医生是否需要接种疫苗。

3. 及时就医的必要性
   建议在清洁伤口后，尽快前往医院或社区卫生服务中心，由专业医生评估伤口情况并决定是否需要接种破伤风疫苗。医生可能会根据伤口情况决定是否需要注射破伤风免疫球蛋白。

4. 家庭猫的健康状况
   如果家中猫只定期接种狂犬病疫苗且健康良好，感染破伤风的概率较低。但破伤风芽孢广泛存在于环境中，因此无论猫的健康状况如何，被咬伤后都应重视伤口处理和疫苗接种。

总结与提示：

被猫咬伤后，及时清洁伤口和就医是关键。如果伤口较深或出血，建议打破伤风疫苗以预防感染。家长应加强对青少年的监护，避免因好奇或疏忽导致被猫抓咬伤的情况发生。如需进一步了解疫苗接种信息，可咨询当地疾控中心或专业医疗机构。