当2-6岁的儿童被来路不明的猫咬伤手指时，是否需要打破伤风疫苗主要取决于伤口的情况、孩子的疫苗接种历史以及猫的健康状况。 猫咬伤可能会导致细菌感染，尤其是破伤风梭菌，这种细菌在缺氧环境下繁殖迅速，因此正确处理伤口并评估是否需要接种破伤风疫苗至关重要。

家长应立即对伤口进行清洗和消毒。使用肥皂水和流动清水彻底冲洗伤口至少15分钟，以清除尽可能多的细菌和病毒。应用碘伏或其他适当的消毒剂进行消毒，防止细菌进一步侵入体内。

观察伤口的严重程度。如果伤口较深或存在异物残留，形成厌氧环境的风险较高，此时破伤风杆菌更容易滋生，建议尽快就医，并根据医生的建议决定是否需要注射破伤风疫苗。还需注意伤口是否有红肿、疼痛加剧等感染迹象，如有异常应立即寻求专业医疗帮助。

了解孩子的疫苗接种记录非常重要。若孩子在过去五年内已经完成全程破伤风疫苗接种，则一般不需要再次接种。但如果超过这一时间段，或者接种史不明确，则可能需要补打破伤风疫苗以确保安全。

考虑到猫的健康状态未知，无法排除狂犬病等其他疾病传播的可能性，尽管这种情况相对少见，但仍需咨询医生是否需要接种狂犬疫苗作为预防措施。

总结而言，对于2-6岁儿童遭遇来路不明的猫咬伤事件，家长应及时且正确地处理伤口，并结合伤口的具体情况及孩子的疫苗接种历史来判断是否需要打破伤风疫苗。必要时，务必寻求专业医疗意见，以保障孩子的健康安全。教育孩子与动物互动时的安全知识也是预防此类意外的关键环节之一。