以下是三角换元的经典例题及解析，涵盖多个典型题型：
一、最值问题
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求$z = x\cos\theta + y\sin\theta$的最大值
设$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，则$z = r（\cos\theta\cos\theta + \sin\theta\sin\theta） = r\cos（\theta - \phi）$，最大值为$|r|$。
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椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$上点$（x,y）$的线性组合最大值
设$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$，则$mx + ny = \sqrt{m^2 + n^2}r\sin（\theta + \varphi）$，最大值为$\sqrt{m^2 + n^2}r$。
二、值域问题
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求$y = \sqrt{a^2 - x^2}$的值域
设$x = a\cos\theta, \theta \in [0, \pi]$，则$y = |a\sin\theta|$，值域为$[0, a]$。
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求$y = \sqrt{a^2 + x^2}$的值域
设$x = a\cos\theta$，则$y = \sqrt{a^2 + a^2\cos^2\theta} = a\sec\theta$，值域为$[a, +\infty）$。
三、几何问题
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圆上点到直线的距离问题
设圆的方程为$（x - h）^2 + （y - k）^2 = r^2$，点$P（h + r\cos\theta, k + r\sin\theta）$到直线$Ax + By + C = 0$的距离为$d = \frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，通过三角换元可证明存在定圆与动直线相切。
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三角形相似问题
设单位圆上一点$P（\cos\theta, \sin\theta）$，通过三角换元结合正弦定理可证明三角形相似，从而求得定值（如$\frac{OP}{OQ}$为常数）。
四、综合应用
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三角函数方程求解
例如，已知$\cos（\theta + \phi） = \frac{1}{2}$，通过三角换元设$\theta = \alpha - \phi$，结合三角恒等式可求解$\theta$的取值范围。
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不等式证明
例如，利用三角换元证明$\sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$，设$x = \theta - \frac{\pi}{4}$，则$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\theta \leq \sqrt{2}$。
三角换元的关键步骤
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合理设参 ：根据问题结构设$x = R\cos\theta, y = R\sin\theta$（椭圆/圆）或$x = r\cos\theta$（直线与圆的距离）。
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范围限定 ：注意新变量$\theta$的取值范围（如$[0, 2\pi]$或$[0, \pi]$）。
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化简与求值 ：利用三角恒等式（如$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$）化简表达式，求出最值或值域。
通过以上典型例题，可掌握三角换元在不同场景下的应用方法。
