三角余弦公式的推导过程涉及几何和代数方法，以下是主要推导路径：
一、向量夹角余弦公式
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向量点积定义
设向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，其夹角为 $\theta$，则点积定义为：
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$$其中 $|\mathbf{a}|$ 和 $|\mathbf{b}|$ 分别是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模长。
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几何解释
根据向量投影，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 可表示为 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向上的投影长度乘以 $|\mathbf{b}|$，即：
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| (\mathbf{b} \cdot \hat{\mathbf{b}}) = |\mathbf{a}| (|\mathbf{b}| \cos \theta)$$其中 $\hat{\mathbf{b}}$ 是 $\mathbf{b}$ 的单位向量。
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推导结果
由点积定义和几何解释可得：
$$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}$$该公式适用于任意向量夹角计算。
二、余弦定理公式
余弦定理用于计算三角形中任意一边的平方与两边及其夹角的关系，公式为： $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
其中 $a$、$b$、$c$ 为三角形三边，$A$ 为边 $a$ 对应的角。
推导过程：
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作垂线
在 $\triangle ABC$ 中，作 $AD \perp BC$ 于点 $D$，设 $BD = c \cos B$，$DC = a - c \cos B$。
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应用勾股定理
在直角三角形 $ACD$ 中，根据勾股定理： $$b^2 = AD^2 + DC^2 = (c \sin B)^2 + (a - c \cos B)^2$$
展开并整理得： $$b^2 = c^2 \sin^2 B + a^2 - 2ac \cos B + c^2 \cos^2 B$$
利用 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，化简为： $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$
同理可推导出其他两个方向的余弦公式： $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$
$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$。
三、余弦和角公式
余弦和角公式用于计算两个角和的余弦值，公式为： $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$
推导方法：
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向量表示
将角 $\alpha$ 和 $\beta$ 的终边表示为向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，则 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 的余弦值为：
$$\cos(\alpha + \beta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|}$$ -
展开向量点积
$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (\cos \alpha \mathbf{i} + \sin \alpha \mathbf{j}) \cdot (\cos \beta \mathbf{i} + \sin \beta \mathbf{j})$$
$$= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha
