三角万能公式的推导过程主要基于三角函数的基本关系和恒等式，以下是关键步骤的详细说明：
一、基础公式推导
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平方关系
根据勾股定理，$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，这是三角函数最基本的恒等式。
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商数关系
由正弦和余弦定义，$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$，结合平方关系可推导出：
$$1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha \quad \text{和} \quad 1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha$$。
二、万能公式的推导
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半角公式
设 $\tan\frac{\alpha}{2} = t$，则：
$$\sin\alpha = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos\alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad \tan\alpha = \frac{2t}{1 - t^2}$$这些公式通过 $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$ 和二倍角公式推导得出。
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正切二倍角公式
利用正弦和余弦的二倍角公式： $$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{4t}{(1 + t^2)^2}$$
通过分式变换可得： $$\tan2\alpha = \frac{2t}{1 - t^2}$$
进一步变形为： $$\sin2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha} \quad \text{和} \quad \cos2\alpha = \frac{1 - \tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha}$$。
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三倍角公式
通过 $\tan3\alpha = \frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha}$ 和和角公式推导：
$$\sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha, \quad \cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$$最终得到： $$\tan3\alpha = \frac{3\tan\alpha - \tan^3\alpha}{1 - 3\tan^2\alpha}$$。
三、三角形内角和公式的应用
对于任意非直角三角形，利用三角函数的定义和三角形内角和定理： $$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$$
该公式可通过 $\tan（A + B） = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ 结合 $\tan C = -\tan（A + B）$ 推导得出。
总结
三角万能公式的核心在于通过半角公式和二倍角公式进行变量代换，将三角函数表示为 $\tan\frac{\alpha}{2}$ 的函数，从而简化计算。这些公式在解三角形、积分和微分方程中具有广泛的应用。
