根据搜索结果和医疗建议，清明节户外烧烤被老鼠咬伤后，建议根据具体情况选择就诊科室，并采取以下处理措施：

一、就诊科室选择

1. 急诊科（首选）
   若伤口较深、出血较多或出现红肿、疼痛等感染迹象，应优先挂急诊科。急诊科可快速处理伤口（如清创、缝合）并提供紧急疫苗接种服务。

2. 感染科/传染科
   老鼠可能携带鼠疫、出血热、钩端螺旋体等病原体。若咬伤后出现发热、淋巴结肿大、头痛等症状，需挂感染科排查传染病风险。

3. 皮肤科或外科
   若伤口较浅且无严重感染，可挂皮肤科或外科进行局部消毒、包扎及后续观察。

4. 疾病预防控制中心（非医院科室）
   如需接种狂犬疫苗、出血热疫苗或破伤风疫苗，可直接联系当地疾控中心（部分医院急诊科也可接种）。

二、紧急处理措施

1. 立即清洗伤口
   用流动清水或肥皂水冲洗伤口至少15分钟，边冲边挤压伤口排出污血，降低感染风险。

2. 消毒与包扎
   用碘伏或酒精消毒伤口，保持创面开放（无需包扎），避免细菌滋生。

3. 疫苗接种

   • 狂犬疫苗：老鼠可能携带狂犬病毒，建议24小时内接种（超过24小时仍需补种）。
   • 出血热疫苗：针对流行性出血热，需在疾控中心接种。
   • 破伤风疫苗：若伤口较深或被污染，需注射破伤风抗毒素。

三、后续观察与注意事项

1. 监测症状
   一周内密切观察是否出现发热、头痛、肌肉痛、皮疹等，及时就医。

2. 避免二次感染
   保持伤口干燥，避免接触污水或动物排泄物。

3. 环境防护
   清理烧烤区域卫生，避免食物残渣吸引老鼠，必要时使用防鼠工具。

总结建议

优先挂急诊科处理伤口并接种疫苗，若医院分科较细，根据症状选择感染科或皮肤科。若不确定科室，可咨询医院导诊台。及时处理是预防感染和并发症的关键。