全增量是多元函数中一个重要的概念，它描述了当函数的各个自变量同时发生微小变化时，函数值的变化量。对于二元函数 $z = f(x, y)$z=f(x,y)，其全增量 $\Delta z$Δz 可以表示为函数在点 $P(x,y)$P(x,y) 和邻域内一点 $P_2(x+\Delta x, y+\Delta y)$P​(x+Δx,y+Δy) 的函数值之差：

Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)\Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x, y)Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)

这个表达式给出了从点 $P$P 到点 $P_2$P​ 函数值的变化量。接下来，我们将推导全增量的公式。

我们可以利用泰勒展开来近似计算函数值的变化量。假设函数 $f(x, y)$f(x,y) 在点 $P$P 附近是可微的，则函数在该点的泰勒展开可以写作：

f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+∂f∂xΔx+∂f∂yΔy+o(ρ)f(x + \Delta x, y + \Delta y) = f(x, y) + \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y + o(\rho)f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+∂x∂f​Δx+∂y∂f​Δy+o(ρ)

其中，$o(\rho)$o(ρ) 表示比 $\rho$ρ 更高阶的无穷小量，而 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ρ=(Δx)+(Δy)​ 是点 $P$P 到点 $P_2$P​ 的欧几里得距离。

将上述泰勒展开的结果代入全增量的定义式中，我们得到：

Δz=[f(x,y)+∂f∂xΔx+∂f∂yΔy+o(ρ)]−f(x,y)\Delta z = \left[f(x, y) + \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y + o(\rho)\right] - f(x, y)Δz=[f(x,y)+∂x∂f​Δx+∂y∂f​Δy+o(ρ)]−f(x,y)

简化后，我们得到全增量的表达式：

Δz=∂f∂xΔx+∂f∂yΔy+o(ρ)\Delta z = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y + o(\rho)Δz=∂x∂f​Δx+∂y∂f​Δy+o(ρ)

这里，$\frac{\partial f}{\partial x}$∂x∂f​ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$∂y∂f​ 分别是函数 $f(x, y)$f(x,y) 对于 $x$x 和 $y$y 的偏导数，它们仅依赖于点 $P$P 的坐标 $(x, y)$(x,y) 而不依赖于增量 $\Delta x$Δx 和 $\Delta y$Δy。而 $o(\rho)$o(ρ) 表示的是随着 $\Delta x$Δx 和 $\Delta y$Δy 趋向于零时比线性项更快速趋向于零的项。

进一步地，如果考虑全微分的概念，即当 $\Delta x$Δx 和 $\Delta y$Δy 趋近于零时，我们可以忽略掉更高阶的无穷小量 $o(\rho)$o(ρ)，从而得到全微分 $dz$dz：

dz=∂f∂xdx+∂f∂ydydz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dydz=∂x∂f​dx+∂y∂f​dy

这里的 $dx$dx 和 $dy$dy 分别代表 $x$x 和 $y$y 方向上的无限小增量。因此，全微分实际上就是全增量的线性部分，它是函数局部行为的一个线性近似。

为了更直观地理解这个过程，我们可以看一个具体的例子。比如对于函数 $z = e^{xy}$z=exy，其关于 $x$x 的偏导数为 $ye^{xy}$yexy，关于 $y$y 的偏导数为 $xe^{xy}$xexy。如果我们想知道在某一点 $(x_0, y_0)$(x​,y​) 处的全微分，我们需要先求出该点处的偏导数值，然后将其乘以对应的增量 $dx$dx 和 $dy$dy 来获得全微分 $dz$dz 。

总结来说，全增量公式推导的关键在于利用泰勒展开，并且认识到全增量包含了函数值随自变量变化的一阶和高阶项。而在实际应用中，通常只关心一阶项，即全微分，因为它提供了函数在某一点附近的线性近似，这对于理解和预测函数的行为至关重要。通过这种方式，我们可以更好地理解函数在特定点附近的变化趋势，并应用于诸如物理学、经济学等多个学科领域中的问题分析。