上班期间突发脑梗是否应由公司负责， 需要根据具体情况判断 。以下是一些关键点：
- 工伤认定 ：
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如果员工在工作时间和工作岗位上突发脑梗，并且因此死亡或在48小时内经抢救无效死亡，根据《工伤保险条例》第十五条第一项的规定，这种情况应视同工伤。
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如果员工因工作原因发生事故，符合在工作时间和工作岗位突发疾病死亡，且是由于工作紧张造成的，也可以认定为工伤。
- 责任承担 ：
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如果符合工伤认定标准，工伤保险基金应承担赔偿责任。如果单位未投保工伤保险，则由单位负责赔偿。
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如果突发脑梗与工作没有直接关联，纯粹是员工自身健康问题导致的，公司可能无需承担法律责任，但仍需提供病假待遇和缴纳社会保险费用。
- 公司关怀 ：
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即使不符合工伤认定标准，公司仍应在一定程度上给予员工关怀和支持，例如提供医疗期和相应的就医福利待遇。
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公司管理层可以考虑在道义层面给予员工适当的援助和支持，如为家庭经济困难的职工提供必要的急救治疗费用等。
综上所述，上班期间突发脑梗是否应由公司负责，主要取决于脑梗的发生是否与工作有直接关联。若存在直接关联，公司可能需要承担相应的法律责任；若无直接关联，公司则无需承担法律责任，但仍需履行基本的员工关怀义务。