在长沙市，24小时提供狂犬疫苗接种服务的机构主要包括：
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长沙市疾病预防控制中心 ：位于芙蓉区纬二路149号，提供狂犬疫苗的接种服务，服务时间为每周一至周五上午8点至下午5点。
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各区的社区卫生服务中心 ：如通泰街街道社区卫生服务中心、望麓园街道社区卫生服务中心、东风路街道社区卫生服务中心等，这些机构通常也提供狂犬疫苗接种服务，服务时间一般为每周一至周六全天，具体服务时间可能因季节而异。
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社区医院和社区诊所 ：这些机构也提供狂犬疫苗接种服务，服务时间一般为每周一至周五上午8点至下午5点。
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宠物医院 ：一些宠物医院也提供狂犬疫苗接种服务，例如湖南健牧兽医技术服务有限公司（雨花区楚雅动物医院）等。
建议您在被狗、猫咬伤或抓伤后，尽快联系当地疾控中心或社区卫生服务中心进行咨询和接种。如果需要24小时服务，建议直接联系当地疾控中心确认是否有24小时接种服务，或者前往最近的社区卫生服务中心或宠物医院。