答案是肯定的，教师被来路不明的猫咬伤手指后，需要及时注射破伤风疫苗。

破伤风是由破伤风杆菌产生的一种急性感染性疾病，这种细菌广泛存在于土壤、动物粪便和灰尘中。当人体的皮肤或黏膜出现破损，破伤风杆菌就有可能通过伤口进入人体，在缺氧的环境下繁殖并产生毒素，导致破伤风的发生。

为什么被猫咬伤后需要注射破伤风疫苗？

1. 猫的口腔中可能携带破伤风杆菌：猫的口腔中可能存在各种细菌，包括破伤风杆菌。当猫咬伤人时，这些细菌就有可能通过伤口进入人体，增加感染破伤风的风险。

2. 来路不明的猫增加感染风险：如果咬伤人的猫是流浪猫或未接种疫苗的猫，那么它携带破伤风杆菌的可能性就更大。因为这些猫可能接触过更多的污物和细菌，而且没有接受过相关的健康检查和疫苗接种。

3. 手指是破伤风易感部位：手指通常比身体其他部位更容易受到破伤风杆菌的感染。因为手指经常接触各种物品和表面，容易受到污染。而且，手指上的伤口通常比较小而深，有利于破伤风杆菌的繁殖和毒素的产生。

如何预防破伤风？

1. 及时注射破伤风疫苗：如果被猫咬伤或抓伤，无论伤口大小，都应该及时清洗伤口并注射破伤风疫苗。如果伤口较深或有污染，还应该注射破伤风抗毒素。

2. 定期接种破伤风疫苗：对于经常接触动物或有较高感染风险的人群，应该定期接种破伤风疫苗，以增强身体对破伤风杆菌的免疫力。

3. 保持良好的个人卫生：经常洗手，保持伤口清洁干燥，避免接触可能携带破伤风杆菌的物品和环境，以减少感染的风险。

被来路不明的猫咬伤手指后，及时注射破伤风疫苗是必要的，以预防破伤风的发生。