增量形式的导数定义是微积分中描述函数局部变化率的核心概念。其核心思想是通过函数增量的比值在自变量增量趋于零时的极限来刻画函数在某一点的变化特性。具体定义如下：
一、导数的增量形式定义
设函数 $y = f（x）$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$（即 $x \to x_0$）时，函数相应地取得增量 $\Delta y = f（x_0 + \Delta x） - f（x_0）$。如果极限 $$ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$
存在，则称函数 $f（x）$ 在点 $x_0$ 处可导，该极限值记作 $f'（x_0）$、$\frac{df（x_0）}{dx}$ 或 $y'|_{x=x_0}$。
二、导数的几何与物理意义
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几何意义 ：导数 $f'（x_0）$ 表示曲线 $y = f（x）$ 在点 $（x_0, f（x_0））$ 处的切线斜率，反映了函数在该点附近的瞬时变化率。
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物理意义 ：在位移函数中，导数表示瞬时速度；在速度函数中，导数表示加速度。
三、导数的局部与全局性质
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局部性质 ：导数描述函数在某一点的变化率，不同点的导数可能不同。
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全局性质 ：导函数 $f'（x）$ 是原函数 $f（x）$ 的变化率函数，反映了函数在整个定义域内的变化趋势。
四、补充说明
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单侧导数 ：若函数在 $x_0$ 处的左导数 $\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 和右导数 $\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 均存在且相等，则称函数在 $x_0$ 处可导。
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不可导点 ：若极限不存在或左右导数不相等，则函数在 $x_0$ 处不可导（如绝对值函数在 $x=0$ 处）。
通过增量形式的导数定义，可以系统地分析函数在局部的行为，并为进一步研究函数的性质（如极值、凹凸性等）奠定基础。
