根据现有信息，上海市内笔迹鉴定机构数量需结合司法鉴定机构及专业机构进行区分，具体如下：

一、司法鉴定机构（具备司法鉴定资质）

1. 司法鉴定科学技术研究所司法鉴定中心

   • 地址：光复西路1347号

   • 业务范围：涵盖笔迹鉴定、文件真伪鉴定、痕迹鉴定等。

2. 华东政法学院司法鉴定中心

   • 业务范围：法医临床鉴定、笔迹鉴定等。

3. 上海市防伪技术产品测评中心司法鉴定所

   • 业务范围：防伪产品检验、文书司法鉴定（含笔迹鉴定）。

4. 其他司法鉴定机构

   • 上海市司法局直属机构：刑侦总队刑科所（中山北一路803号）、国内安全保卫局（思南路99号）等。

二、其他相关机构

• 司法亲子鉴定中心 ：如上海华碧检测技术有限公司司法鉴定所（杨浦区国权北路1688弄75号），虽以亲子鉴定为主，但可能涉及笔迹鉴定。

• 计算机司法鉴定机构 ：如盘石软件（上海）有限公司、中浦鉴云（上海）信息技术有限公司等，专注于电子文件、印章等非传统笔迹鉴定。

三、注意事项

1. 选择建议 ：司法鉴定机构需通过上海市司法局官网查询资质，建议优先选择司法鉴定科学技术研究所或华东政法学院司法鉴定中心。

2. 业务范围 ：部分机构（如防伪技术产品测评中心）可能提供笔迹鉴定，但需确认具体业务范围。

3. 权威查询 ：司法鉴定许可证号、司法许可证号等可通过上海市司法局官网核实。

以上信息综合自多个来源，具体以实际需求和机构最新公告为准。