全增量和偏增量是多元函数微积分中的两个重要概念，它们描述了函数值随自变量变化而产生的变化量。为了深入理解这两者之间的关系，我们需要首先明确它们各自的定义。

全增量

全增量指的是当一个点在多元函数的定义域内移动时，函数值的变化量。对于二元函数$z = f(x, y)$z=f(x,y)，如果我们在点$(x_0, y_0)$(x​,y​)处分别给$x$x和$y$y增加小量$\Delta x$Δx和$\Delta y$Δy，那么函数值的变化量$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$Δz=f(x​+Δx,y​+Δy)−f(x​,y​)就是该点的全增量。

偏增量

偏增量则专注于单一变量的变化对函数值的影响。也就是说，如果我们只改变其中一个变量（比如$x$x），而保持其他变量不变，那么函数值的变化量就是关于这个变量的偏增量。例如，在上述情况下，如果我们仅考虑$x$x的变化，则偏增量为$\Delta_z^x = f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$Δzx​=f(x​+Δx,y​)−f(x​,y​)；同理，对于$y$y的偏增量为$\Delta_z^y = f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$Δzy​=f(x​,y​+Δy)−f(x​,y​)。

关系探讨

在某些情况下，特别是对于线性函数，全增量可以简单地视为各变量偏增量之和。这是因为在线性情况下，函数的变化率与自变量的变化量成正比，并且这种比例关系在整个定义域内保持一致。因此，线性函数的全增量等于其各个偏增量之和。

对于非线性函数，情况则更加复杂。虽然可以通过一阶泰勒展开近似计算全增量，但这种近似通常包含了一个误差项，它反映了非线性效应。具体地说，非线性函数的全增量不仅包括各变量的偏增量，还包括这些偏增量之间相互作用的高阶项。例如，考虑函数$f(x,y) = xy$f(x,y)=xy，在原点附近的全增量并不能简单地表示为其偏增量之和。

对于连续可微的非线性函数，当自变量的增量趋于零时，全增量与全微分的关系变得尤为紧密。在这种情形下，全增量可以分解为两部分：一部分是由各偏导数乘以对应自变量增量组成的线性组合，另一部分则是由更高阶无穷小构成的误差项。这表明，在无限小的尺度上，全增量确实可以近似为偏增量之和加上一个趋向于零的误差。

全增量与偏增量的关系取决于函数的性质——是否为线性、是否存在高阶非线性项等。在线性或局部线性的情况下，全增量可以看作是偏增量的直接叠加；而在非线性情况下，尽管可以通过偏导数来近似描述全增量，但这往往需要额外考虑非线性效应带来的修正。理解和掌握这一点对于深入学习多元函数分析至关重要。