生病请病假时，公司通常不能直接开除员工。根据中国相关劳动法规，员工在规定的医疗期内，公司不得解除劳动合同。医疗期的长短取决于员工的实际工作年限和在本单位的工作年限，一般为三个月到二十四个月不等。以下是几种不同情况的具体分析：
医疗期内
不能解除劳动合同：在医疗期内，除非员工存在严重违反公司规章制度等法定情形，公司一般不得解除劳动合同。
特殊情况：如果员工在医疗期内严重违反公司规章制度，公司可以依法解除劳动合同。
医疗期满后
不能从事原工作且不能从事另行安排的工作：如果员工在医疗期满后仍不能从事原工作，也不能从事公司另行安排的工作，公司可以提前三十日以书面形式通知员工或者额外支付一个月工资后，解除劳动合同。
能从事原工作或另行安排的工作：如果员工在医疗期满后能够从事原工作或公司另行安排的工作，公司则不能以此为由解除劳动合同。
特殊疾病
延长医疗期：对于某些特殊疾病（如癌症、精神病、瘫痪等），在24个月内尚不能痊愈的，经企业和劳动主管部门批准，可以适当延长医疗期。
医疗期满后的处理：医疗期满后，如果员工仍不能从事原工作或另行安排的工作，公司可以依法解除劳动合同，并支付经济补偿金和医疗补助费。
综上所述，公司在员工生病请病假期间解除劳动合同需要遵循严格的法律程序和条件。员工在医疗期内受到法律保护，公司不得随意解除劳动合同。医疗期满后，如果员工仍不能从事原工作或另行安排的工作，公司可以依法解除劳动合同，但需支付相应的经济补偿。