推导 cos(α-β) 的过程有多种方法，以下是两种常见的推导方式：
方法一：向量方法
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向量的减法： 设两个向量
u = (cosα, sinα)和v = (cosβ, sinβ)，则u - v = (cosα - cosβ, sinα - sinβ)。 -
向量的长度： 向量
u - v的长度为||u - v|| = √[(cosα - cosβ)² + (sinα - sinβ)²]。 -
余弦定理： 根据余弦定理，
||u - v||² = ||u||² + ||v||² - 2||u||*||v||*cosθ，其中θ是u和v之间的夹角。 -
代入向量长度：
||u|| = ||v|| = 1，所以||u - v||² = 1 + 1 - 2*cosθ = 2 - 2cosθ。 -
简化公式：
2 - 2cosθ = (cosα - cosβ)² + (sinα - sinβ)²。 -
展开并简化：
(cosα - cosβ)² + (sinα - sinβ)² = cos²α - 2cosαcosβ + cos²β + sin²α - 2sinαsinβ + sin²β。 -
利用三角恒等式：
cos²α + sin²α = 1和cos²β + sin²β = 1，所以：2 - 2cosθ = 2 - 2(cosαcosβ - sinαsinβ)。 -
最终推导：
cosθ = cosαcosβ - sinαsinβ，即cos(α - β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
方法二：几何方法（利用单位圆）
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单位圆： 在单位圆中，设
A(cosα, sinα)和B(cosβ, sinβ)。 -
向量的夹角： 向量
OA和OB的夹角为α，向量OC和OD的夹角为β，向量AB和AC的夹角为α - β。 -
点积公式：
cos(α - β) = cos(θ) = (OA·OC) / (||OA|| * ||OC||)。 -
计算点积：
OA·OC = cosαcosβ + sinαsinβ，且||OA|| = ||OC|| = 1。 -
最终推导：
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ。
这两种方法都可以有效地推导出 cos(α - β) 的公式。希望这些推导过程对你有帮助！
