如果您在清明户外烧烤时不慎被红蚂蚁咬伤，根据不同的症状和严重程度，您应该考虑挂不同的科室进行治疗。以下是具体的建议：

如果您的症状比较轻微，例如仅有局部的红肿、瘙痒或疼痛，那么通常情况下可以先自行处理。按照专业指导，您应该立即用肥皂水清洗伤口，以中和毒液中的酸性物质。随后使用冰块或冷毛巾冷敷伤口，以减轻疼痛和肿胀。避免用手抓挠伤口，以免引发感染。在这种情况下，可能不需要去医院就诊。

如果局部反应较为严重，比如出现显著的红肿、水疱或者脓疱，您可以选择去皮肤科就诊。皮肤科医生能够提供针对性的治疗方案，包括开具适合的外用药膏（如炉甘石洗剂、糖皮质激素软膏等）以及口服抗组胺药物来缓解过敏反应和瘙痒。

对于那些出现了全身性过敏反应的人，如呼吸困难、面色苍白、血压下降等症状，这可能是过敏性休克的表现，这是一种紧急情况，需要立即前往急诊科寻求帮助。急诊科拥有快速应对急性过敏反应的能力，并能给予必要的急救措施和支持性治疗，比如静脉注射抗过敏药物和其他生命支持措施。

如果您在被咬后出现了发热、头痛、恶心等全身性反应，这也表明毒素已经影响到了全身系统，同样需要尽快就医。在这种情况下，除了皮肤科之外，也可能需要内科的帮助来进行全面评估和治疗。

是否需要去医院以及具体应该挂哪个科室取决于您的具体症状。如果不确定如何处理，最安全的做法是咨询医疗专业人士的意见。记住，以上信息仅供参考，具体情况还需结合自身状况并在专业医生指导下进行处理。如果有任何疑问或症状加剧，请不要犹豫，立即寻求医疗援助。