私人开灰指甲店是否合法，取决于店铺的经营内容和服务范围，以下是具体分析：

经营资质方面

• 需要办理营业执照：私人开灰指甲店需要依法取得营业执照。营业执照是合法经营的基本证明，经营者需向当地工商局或通过线上政务服务平台申请，提交相关材料，经审核批准后方可领取。

• 税务登记证：拿到营业执照后，还需办理税务登记证，依法纳税。

服务内容方面

• 非医疗性质的护理服务：如果店铺仅提供灰指甲的护理、修护等非医疗性质的服务，如清洁、修剪、涂抹护理产品等，一般不需要额外的医疗资质，合法办理营业执照和税务登记证等相关证件后即可经营。

• 涉及医疗治疗：如果店铺声称可以治疗灰指甲等疾病，提供医疗性质的服务，则需要取得相应的医疗资质。根据《中华人民共和国广告法》第十七条规定，除医疗、药品、医疗器械广告外，禁止其他任何广告涉及疾病治疗功能，并不得使用医疗用语或者易使推销的商品与药品、医疗器械相混淆的用语。否则，将构成违法行为，面临市场监管部门的处罚。

广告宣传方面

• 真实宣传：店铺在宣传过程中，应确保广告内容真实、合法，不得虚假夸大治疗效果或使用误导性语言。如声称“包治灰指甲”“治愈率100%”等绝对化用语，都可能违反《广告法》等相关法律法规，误导消费者，损害消费者合法权益。

• 合规用语：避免在广告中使用医疗用语或与医疗治疗相关的表述，以免被认定为非法医疗广告。

总之，私人开灰指甲店在合法办理相关经营资质、规范服务内容和广告宣传的前提下是合法的。经营者应严格遵守法律法规，诚信经营，为消费者提供安全、可靠的服务。