3-9岁儿童被黑猫咬伤手指后是否需要打破伤风疫苗，取决于伤口的严重程度和猫的健康状况。破伤风疫苗通常用于预防破伤风感染，而猫咬伤后更需关注的是狂犬病风险。以下是详细分析：

1. 1.破伤风疫苗的必要性：破伤风是由破伤风杆菌引起的严重感染，通常通过深部伤口进入人体。如果儿童的伤口较深、污染严重，或者伤口内有异物残留，医生可能会建议接种破伤风疫苗。对于较浅的伤口，如果及时进行清洁和消毒，破伤风的风险较低，通常不需要接种疫苗。儿童是否需要接种破伤风疫苗，应咨询医生，根据伤口的具体情况和儿童的免疫接种史来决定。
2. 2.猫咬伤的风险评估：猫咬伤后，狂犬病的风险需要特别关注。虽然家养的黑猫感染狂犬病的几率较低，但并非为零。如果猫的健康状况不明，或者有接触野生动物的可能性，建议尽快就医评估狂犬病风险。医生可能会建议接种狂犬病疫苗，尤其是当猫的行为异常或无法观察其10天健康状况时。
3. 3.伤口处理的重要性：无论是否需要接种疫苗，及时的伤口处理是关键。应立即用清水和肥皂彻底清洗伤口，至少清洗5分钟，以减少感染风险。使用消毒剂对伤口进行消毒，并用无菌敷料包扎。如果伤口较深或持续出血，应尽快就医。
4. 4.儿童免疫接种史：了解儿童的免疫接种史对于决定是否需要接种破伤风疫苗非常重要。如果儿童已经按照免疫计划接种了破伤风疫苗，通常不需要额外接种。医生会根据儿童的接种史和伤口情况，决定是否需要补接种破伤风疫苗。
5. 5.预防措施和建议：避免儿童与陌生或行为异常的动物接触，以减少被咬伤的风险。定期带家养宠物进行健康检查和疫苗接种，确保宠物的健康。教育儿童如何正确与动物互动，避免激怒或惊吓动物。

3-9岁儿童被黑猫咬伤手指后，是否需要打破伤风疫苗需根据伤口情况和猫的健康状况来决定。及时的伤口处理和专业的医疗评估是确保儿童健康的关键。家长应尽快带孩子就医，以便医生根据具体情况提供最佳的处理建议。