当2-3岁的儿童被巴厘猫咬伤手指时，是否需要打破伤风疫苗取决于几个关键因素：伤口的严重程度、猫的健康状况以及孩子最近一次接种破伤风疫苗的时间。如果伤口较深或猫的疫苗接种情况不明，则可能需要考虑注射破伤风疫苗以预防潜在的感染风险。

处理任何动物咬伤的第一步是立即进行伤口清洁。使用流动的清水和肥皂水彻底冲洗伤口至少15分钟，这有助于清除伤口中的细菌和病毒。用碘伏等消毒剂对伤口进行消毒，以减少感染的风险。

评估孩子的疫苗接种记录。如果孩子在过去的五年内已经完成了全程破伤风疫苗接种，并且最后一次加强针是在三年之内，那么在这种情况下通常不需要再次接种破伤风疫苗。如果孩子的疫苗接种史不明确或者已经超过推荐的时间间隔，那么医生可能会建议接种一剂破伤风疫苗作为预防措施。

还需考虑猫的健康状况。如果这只巴厘猫定期接受兽医检查并按时接种疫苗，其携带破伤风梭菌的可能性较低。但如果猫的健康状态未知或未接种相关疫苗，考虑到猫口中的细菌可能导致破伤风感染，接种疫苗就显得尤为重要。

在某些情况下，除了破伤风疫苗外，还可能需要考虑狂犬病疫苗和其他抗生素治疗。虽然狂犬病在宠物猫中较为罕见，但为了安全起见，特别是在无法确定猫是否携带狂犬病毒的情况下，遵循医疗专业人士的建议至关重要。

对于2-3岁儿童被巴厘猫咬伤的情况，家长应首先对伤口进行适当的初步处理，并尽快咨询医疗专业人员来决定是否需要进一步的疫苗接种或其他治疗措施。及时而正确的处理可以有效降低感染风险，保护孩子的健康。记得在未来的日常生活中加强对孩子的安全教育，避免类似事件的发生。