清明远足时手被蜘蛛咬了，建议挂以下科室：

1. 急诊科：如果被蜘蛛咬伤后出现了较为严重的全身症状，如头痛、头晕、恶心、呕吐、发热、抽搐等，或者伤口处出现红肿、剧痛、水疱、坏死等严重局部反应，应立即前往急诊科就诊。急诊科医生能够迅速对患者的症状进行评估和紧急处理，如清洗伤口、吸出毒液、给予解毒药物或抗过敏药物等，以缓解症状并防止病情进一步恶化。

2. 皮肤科：皮肤科是处理各种皮肤问题的专业科室。如果被蜘蛛咬伤后，伤口及周围皮肤出现了红肿、瘙痒、皮疹等症状，且没有严重的全身症状，可以挂皮肤科。皮肤科医生会根据伤口的情况，判断是否有感染或其他皮肤问题，并给予相应的治疗，如外用药物、口服抗组胺药等，以减轻皮肤症状、促进伤口愈合。

3. 普外科：如果被蜘蛛咬伤后伤口较深、较大，或者出现了组织损伤、坏死等情况，可能需要普外科医生进行处理。普外科医生会对伤口进行清创、缝合等操作，以促进伤口的愈合和恢复。

4. 感染科：如果担心被蜘蛛咬伤后会感染破伤风或其他病原体，也可以咨询感染科医生。感染科医生会根据患者的具体情况，评估是否需要注射破伤风疫苗或其他预防性治疗措施，以降低感染的风险。

在被蜘蛛咬伤后，应根据具体的症状选择合适的科室就诊。如果症状较轻，可以先在皮肤科或普外科就诊；如果症状较重或出现全身症状，应及时前往急诊科就诊。在就医前可以自行采取一些紧急处理措施，如用肥皂水清洗伤口、冷敷等，以减轻症状。