根据搜索材料，以下是一些在河南信阳治疗持续咳嗽的医院：

1. 1.信阳市中心医院：信阳市中心医院是一所集医疗、急救、科研、教学、保健、康复于一体的综合性医院地址：信阳市羊山新区新六大街与新七大道交叉口联系方式：可以通过医院官网或电话进行咨询和预约。
2. 2.信阳市第五人民医院：信阳市第五人民医院是一所集医疗、科研、教学和预防于一体的传染病二级甲等专科公立医院。虽然主要治疗传染病，但也有内科医师和急诊科医师，可能涉及咳嗽的治疗。地址：信阳市工业城312国道京珠高速立交桥东500米联系方式：0376-3389800。
3. 3.信阳市第一人民医院：信阳市第一人民医院在干性咳嗽的治疗方面有一定的专家资源地址：信阳市浉河区四一路与新华东路交叉口联系方式：可以通过医院官网或电话进行咨询和预约
4. 4.淮滨县人民医院：淮滨县人民医院在干性咳嗽的治疗方面也有一定的专家资源地址：信阳市淮滨县乌龙大道联系方式：可以通过医院官网或电话进行咨询和预约
5. 5.息县人民医院：息县人民医院在干性咳嗽的治疗方面也有一定的专家资源地址：信阳市息县境内联系方式：可以通过医院官网或电话进行咨询和预约

海阳市中医医院虽然在山东省，但其心肺病科在治疗慢性咳嗽方面有丰富的经验，治疗方法包括中药汤药和中药泡水代茶饮。如果信阳本地医院无法满足需求，可以考虑前往其他地区寻求更专业的治疗。

建议根据具体病情和需求，选择合适的医院和医生进行咨询和治疗。