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私立医院和公立医院是可以合作的 。根据《中华人民共和国民法典》和《事业单位登记管理暂行条例》的相关规定，公立医院可以与私营企业合作，但必须遵守相关法律法规，确保公立医院的公益性质不受损害。此外，上海市卫健委等部门联合印发的方案中也明确支持公立医院与民营医院开展合作，推动医疗服务业提质扩容，鼓励高水平公立医院与社会资本开展规范合作。
合作的具体形式和案例包括：
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医共体协作单位合作 ：公立医院可以与私立机构开展医共体协作单位合作，实现资源共享和优势互补。
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业务指导型合作 ：公立医院向民营医院输出管理与技术，发挥自身的品牌效应、人才和技术优势，共同培育医疗服务市场。
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资源共享型合作 ：公立医院向民营医院借床，缓解病人住院难、看病难的压力。
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完全一体化合作 ：公立医院与民营医院在资源整合方面进行更深层次的合作，形成利益共同体。
合作科室在一定条件下也是合法的，但必须遵循法律法规和相关部门的规定，确保医疗服务的合法、规范和安全。
综上所述，私立医院和公立医院之间的合作是受到政策鼓励和支持的，合作形式多样，有助于提高医疗服务水平和满足市场需求。但在合作过程中，必须严格遵守相关法律法规，确保公立医院的公益性质不受损害。